Как работают ICM калькуляторы и на чем основаны их вычисления? Часть 1.

Привет, Cardmates!

Вчера не играл, потому что весь день разбирался в ICM.

Я отношусь к типу людей, которые не могут по-умолчанию принять то, что дано, даже если всему миру известно, что это беззаговорочная истина и этому необходимо непременно следовать. Мне обязательно нужно собственноручно получить получить результат, который мне дают в готовом виде.

Именно поэтому, после упорных наставлений nontransito использовать ICMIZER для анализа своей игры, я вместо того, чтобы сесть долбить сотни раздач в режиме тренинга, я сел разбираться в алгоритме расчетов, того как это работает. Ну не могу я принять, тот факт, что если для заданной руки ICM калькулятор показывает, условные +7.88, то я просто должен поверить на слово и запомнить, что в этой ситуации нужно делать push.

В общем проведя, целый день в изучении вопроса, я пришел, как мне кажется, к глубокому понимаю сути проводимых расчетов и сейчас собираюсь поделиться с вами выжимкой той теории, которая лежит за всеми этими вычислениями.

Что требуется понять?

У меня сразу же возникли два вопроса:

1. Что значат цифры у каждой руки в chart'е ICM калькулятора и как они получаются?

2. Как формируются дипазоны рук, которые выдает ICM калькулятор?

Цифры в ICM калькуляторах. Часть 1.

Основная информация, которая интересует большинство изучающих ICM, выдается ICM калькуляторами после проведения всех расчетов в виде chart'а рук с приписанной к каждой руке цифрой.

Эта цифра называется EV Diff. Её можно отображать, как процентах, так и в эквиваленте призовых $.

Означает она разницу в результате между действиями Push и Fold. Т.е. какое преимущество мы получим в заданной ситуации, если предпочтем сделать Push, вместо того, чтобы сбросить наши карты. Например, для руки ATs chart показывает, что в среднем на дистанции мы будем получать на 0,38% бол ьше, если будем делать push. А для руки 96o мы наоборот будет терять в среднем 0,48%, поэтому лучше делать fold.

Внимание: данный chart не означает, что вы всегда должны поступать именно так. Этот chart вырван из контекста: позиций, размера стеков, количества игроков за столом.

Как проводятся расчеты этих значений?

Центральное понятие ICM заключается в том, что, в отличие от cash игры, фишки выигрываемые или проигрываемые в результате наших действий не эквивалентны, нашим призовым.

Например, в cash выигрывая банк равный $10 мы получаем $10, следовательно, в частном случае, наш EV составит в этой ситуации $10 (это тоже не совсем верно, но очень близко к сути, что такое EV в cash можно посмотреть в моем посте здесь). Что совершенно неверно для турнирного покера.

В турнирном покере, фишки, которые мы выигрываем или проигрываем, не влияют на возможный выигрышь, они влияют на нашу вероятность получить этот выигрышь. В этот момент вступает понятие стоимости фишек.

Термин ICM в покере расшифровывается как «Independent Chip Model» («Независимое моделирование стоимости фишек»). Эта модель используется в игре для конвертации стеков игроков из фишек в их денежный эквивалент (в процентах от общего или оставшегося призового фонда турнира).

Как посчитать стоимость фишек?

Если в cash EV зависит исключительно, от вероятности выиграть отдельно взятой раздачи, то в турнирном покере, основной информацией влияющей на наш EV является текущая структура турнира: сколько игроков осталось в игре, какие призовые, сколько у нас фишек, сколько фишек у оппонентов.

При расчете стоимости фишек принято считать, что все игроки играют одинаково и их способность выиграть призовые зависит исключительно от того, каким количеством фишек они располагают.

Например:

Пусть дан турнир SNG из 3 человек, с двумя призовыми местами. Buy-in $1000, у каждого на старте по 1000 фишек. В самом начале стоимость их стеков равна эквиваленту внесенного buy-in'а. Стек каждого на данный момент стоит $1000.

Но предположим, что два игрока на блайндах выставились и один из них вылетел. Тогда картина поменяется. У нас останется два игрока со стеками 2000 и 1000. Какая будет стоимость фишек теперь для каждого игрока? Не понимающего, как производятся расчеты, очевидный на первый взгляд ответ, приведет к неправильному решению.

Как посчитать?

Для расчета стоимости фишек, нам необходимо рассчитать вероятность попадания игрока на каждое призовое место и умножить полученные вероятности на сумму выигрыша на соответствующем призовом месте.

Отталкиваясь от идеи высказанной ранее, что вероятность попадния на определенное место зависит от количества располагаемых игроком фишек, получим, что:

Не трудно заметить, что вероятность победить, составляет долю фишек в процентах от общей суммы фишек использованных в игре. Т.е.:

Вероятность того, что Игрок 1 выиграет, составляет 2000/3000 = 66,67%

Стоимость фишек для Игрока 1 в итоге получается в результате следующих вычислений:

Призовые за 1 ое место * Вероятность занять 1ое место + Призовые за 2ое место * Вероятность занять 2ое место = 2000 * 66,67% + 1000 * 33,33% = 1333,4 + 333,3 = 1666,7

Как это понять?

Можно посмотреть на это так: $1000 призовых оба игрока себе уже обеспечили, т.к. оба игрока точно попадают в призы. Следовательно они борются за дополнительный приз в размере $1000. Следовательно, учитывая доли их фишек в общем количестве получим, что из этой $1000 долларов, Игроку 1 принадлежит 66,67% * 1000 = 666,7, а Игроку 2 33,33% * 1000 = 333,3. Видимо по такому принципу совершаются сделки, за финальным столом, когда игроки принимают решение поделить оставшиеся призовые, пропорционально своим стекам на данный момент.

Но... как обычно бывает с математикой, это слишком простой пример, чтобы на этом можно было остановиться. Такой расчет справедлив для ситуации Hands Up. В ситуации, когда игроков больше расчетов куда больше.

Как быть, когда игроков больше?

Когда игроко больше, нам необходимо составить матрицу вероятных исходов и посчитать вероятность, для каждого исхода. Используя, уже эти вероятности посчитать стоимость фишек каждого игрока.

Разберем ситуации, когда в игре осталось 4 игрока, тогда матрица вероятных исходов будет содержать 24 возможных комбинации.

Например, игроки могут в итоге финишировать в следующих порядках:

1234, 2134, 1243 или даже 4132

Предположим, что нам необходимо найти стоимость фишек Игрока 2 в турнире, где 3 призовых места. Тогда нам потребуется посчитать вероятности попадания Игрока 2 на 1ое место, 2ое место и 3е место соответственно и умножить эти вероятности на соответствующие им призовые, в итоге сложить полученные числа.

Вероятность попадания на первое место считается делением стека игрока на общее количество фишек в игре, аналогично расчету выше. Эту вероятность умножаем на призовые за 1ое место.

Для второго места, необходимо сложить вероятности попадания Игрока 2 на второе место. Этой ситуации будут соответствовать следующие комбинации игроков:

3214, 4213, 1234, 4231, 3241, 1243

Для третьего места, необходимо сложить вероятности попадания Игрока 2 на третье место. Этой ситуации будут соответствовать следующие комбинации игроков:

1324, 3124, 1423, 4123, 3421, 4321

Как посчитать эти вероятности?

Например, для ситуации 1324, т.е. Игрок 2 попадает на 3е место, нам необходимо умножить следующие вероятности (умножение в теории вероятности используется, когда события должны произойти одновременно):

1. Вероятность попадания Игрока 1 на 1ое место

Формула: Стек 1 / Сумма

2. Вероятность попадания Игрока 3 на 2ое место, при условии, что 1ое место уже занято Игроком 1

Формула: Стек 3 / (Сумма - Стек 1)

3. Вероятность попадания игрока 2 на 3е место, при условии, что 1ое и 2ое место уже занято Игроком 1 и Игроком 3 соответсвенно;

Формула: Стек 2 / (Сумма - Стек 1 - Стек 3)

Посчитав вероятности, для всех возможных комбинаций игроков мы их складываем и умножаем на призовые за соотвествуещее место, сложив полученные цифры мы получим стоимость фишек текущего игрока.

Как вы понимаете, все эти вычисления выполнить в уме невозможно, поэтому ICM калькуляторы и получили такую популярность. Они за вас делают все эти вычисления позволяя, разбирать большое количество рук.

Думаю на сегодня остановимся на этом, тема оказалась очень большой, чтобы поместить её в один пост.

Дальше я перейду от понятия стоимости фишек к тем цифрам, которые ICM калькуляторы выводят в chart'ах.

Для целостности повествования помещу ссылку на будущий пост здесь: Как работают ICM калькуляторы и на чем основаны их вычисления? Часть 2. Если вы читаете это в день появления этого поста, то ссылка на Часть 2 работать еще не будет, она заработает завтра.